I²C プルアップ抵抗の決め方：VOL/IOL による下限とバス容量による上限

オープンドレインだから、抵抗が立ち上がりを決める

I²C の SDA と SCL はオープンドレイン出力で、デバイスは線を Low に引くことしかできません。High に戻すのはプルアップ抵抗で、R_p がバス容量 C_b を充電するので、立ち上がりは時定数 R_p·C_b で決まります。抵抗が小さいほど立ち上がりは速く、Low に引く電流は増えます。

以下の主な計算例は、VDD=3.3V、VOL=0.4VでIOL=3mAを使うStandard/Fast-modeの抵抗プルアップです。30〜70%立ち上がり時間の上限はStandard-modeで1000ns、Fast-modeで300ns、Fast-mode Plusで120nsです。バス容量上限はStandard/Fastで400pF、Fast-mode Plusで550pFと異なり、各ICの電圧条件と駆動能力も確認します。

プルアップ抵抗が信号の立ち上がりを支えるイメージ。概念を表すAI生成イラストです。実際の回路・条件は本文の図と説明を参照してください。

図1：Low では Rp から流れ込む電流をデバイスが引き、High に戻すときは Rp が Cb を充電する。

下限：3mA で 0.4V 以下に引けるか

デバイスが線を Low に引くとき、プルアップから流れ込む電流は (V_DD − V_OL) ÷ R_p です。これが規格のシンク電流 3mA を超えると、V_OL を 0.4V 以下に保証できません。

R_p(min) = (V_DD − 0.4V) ÷ 3mA。V_DD = 3.3V なら 967Ω、5V なら 1.53kΩ で、これより小さい抵抗は使えません。Fast mode Plus 対応のデバイスは 20mA まで引けるので、3.3V で 145Ω まで下げられます。3mA 引けないデバイスがあれば、その I_OL で計算し直します。

上限：立ち上がり時間に間に合うか

RC 充電で 30% から 70% まで上がる時間は t_r = R_p · C_b · ln(0.7 ÷ 0.3) ≒ 0.847 · R_p · C_b です。規格の上限から、R_p(max) = t_r(max) ÷ (0.847 · C_b)。

バス容量が 100pF なら、Standard mode（1000ns）で 11.8kΩ、Fast mode（300ns）で 3.5kΩ、Fast mode Plus（120ns）で 1.4kΩ が上限です。3.3V・Fast mode で 4.7kΩ を使うと、100pF で既に上限を超えています。4.7kΩ で間に合うのは、Standard mode で 250pF 程度、Fast mode で 75pF 程度までです。

図2：100pF で Rp = 3.5kΩ なら 30%→70% が 300ns に収まり、4.7kΩ では収まらない。

バス容量の見積もりと、成立する範囲

バス容量は、デバイスのピン容量（規格上 10pF 以下、実際は 5〜10pF）、基板配線（0.5〜1pF/cm）、ケーブル（50〜100pF/m）の合計です。デバイス 5 個、配線 20cm、ケーブル 30cm なら 50 + 15 + 25 = 90pF 程度で、ESD 保護ダイオードは 1 個あたり数 pF です。

3.3V・Fast mode で成立する範囲は、100pF で 0.97k〜3.5kΩ、200pF で 0.97k〜1.8kΩ です。400pF は上限（0.9kΩ）が下限（0.97kΩ）を下回り、成立しません。200pF 以下に抑えるか、バスを分割するか、バッファ IC を入れます。ここで400pFが成立しないという判断は、3.3V・3mA・300ns・単純な抵抗プルアップという仮定に限ります。

図3：3.3V での成立範囲。下限は 3mA で決まる水平線、上限はバス容量とともに下がる曲線。緑は Fast mode で成立する領域。

範囲の中でどこを選ぶか

上下限の間にあることは抵抗と容量の条件を満たすという意味で、通信全体の保証ではありません。電圧レベル、クロックのHigh/Low期間、変換回路、全デバイスの仕様も確認します。抵抗を小さくすると充電は速くなりますが、Low時の電流が増えるため、許容差を含めた下限を割らないことが条件です。

上限の一定割合を機械的に選ぶより、次の例のように抵抗最大・容量最大の立ち上がりと、抵抗最小・電源最大の電流を別々に検算します。余裕がなくなった側に応じて容量低減・抵抗変更・速度低下を選びます。

抵抗の許容差と、モジュールの並列抵抗を含める

Fast-mode、3.3V、100pF、IOL=3mA、VOL=0.4Vなら、公称計算の範囲は約967Ω〜3.54kΩです。2.2kΩ±5%を1本なら2.09〜2.31kΩで、最悪立ち上がりは0.8473 × 2.31kΩ × 100pF ≈ 196nsです。容量が150pFになると約294nsになり、300nsにほとんど余裕がありません。 200pFなら約391nsで、この抵抗では上限を超えます。

4.7kΩ±5%のプルアップが5枚のモジュールに付いていると、並列値は893〜987Ωです。最小値893Ωでは(3.3 − 0.4) ÷ 893 ≈ 3.25mAとなり、仮定した3mA条件を外れます。追加する抵抗だけでなく全抵抗の並列値を使い、最大電源・抵抗最小でLow側、抵抗最大・容量最大で立ち上がり側を確認します。

実機で引っかかるところ

モジュールの内蔵プルアップ。多くは 4.7kΩ や 10kΩ を載せており、5 個つなぐと 4.7kΩ が 5 並列で 940Ω になり、下限を割ります。外すか、マイコン側を省きます。
マイコンの内蔵プルアップ。20〜50kΩ では I²C に弱すぎ、400kHz では間に合いません。外付けにします。
レベル変換。3.3V と 5V が混在する MOSFET 方式（NXP AN10441）は、両側にプルアップが要り、それぞれの電圧で下限・上限を計算します。
SCL のストレッチ。スレーブがクロックを引き伸ばすなら SCL もオープンドレインにします。プッシュプルのマスタと衝突します。

よくある質問

結局、3.3V なら何 kΩ を使えばよいですか。

3.3V・Fast-mode・100pF・3mAの仮定では、2.2kΩ±5%は抵抗RC条件を満たします。200pFでは立ち上がりが約391nsとなり不成立です。搭載部品と配線の容量、並列抵抗、全デバイスの電流保証を使って選び直します。

プルアップをどこに置くべきですか。

電気的にはどこでも同じです。マスタの近くなら、モジュールを抜いても残ります。両端に分けるなら合計の並列値で計算します。

バス容量が 400pF を超えたらどうしますか。

I²C マルチプレクサやバッファ（PCA9515 など）でバスを分割するか、ケーブル区間を差動化する延長 IC を使います。抵抗を小さくして間に合わせると、下限を割ります。

参考にした規格・資料

NXP UM10204, I²C-bus specification and user manual — Rev.7.0、Table 11と§7.1：モード別の容量・電流・タイミング条件と抵抗範囲。
NXP AN10441, Level shifting techniques in I²C-bus design — MOSFET によるレベル変換回路
TI SLVA689, I²C Bus Pullup Resistor Calculation — 下限・上限の計算例