RC フィルタのカットオフ周波数と、実際に取れる減衰

−3dB 点と、その先の傾き

1 次ローパスフィルタ（R と C）のカットオフ周波数は f_c = 1 ÷ (2πRC) です。1kΩ と 100nF なら 1.59kHz で、出力は入力の 0.707 倍（−3dB）です。

カットオフより上では、周波数が 10 倍になるごとに −20dB です。正確には |H| = 1 ÷ √(1 + (f ÷ f_c)²) で、数値は下の表のとおりです。

信号とノイズが 10 倍しか離れていなければ、1 次フィルタで取れる減衰は 20dB、100 倍離れていれば 40dB です。それ以上は、次数を上げるか、f_c を下げて周波数を離すしかありません。

信号側にも影響が出る

信号の周波数が f_c の 1/10 なら振幅は 0.5% しか減りませんが、位相は 5.7° 遅れます。制御ループのセンサ信号や、複数チャンネルの同時性が要る計測では問題です。振幅を 0.1% 以内にするには f_c を信号の 22 倍以上、位相を 1° 以内にするには 57 倍以上にします。

時間領域では整定時間です。ステップ入力に対し、出力が最終値の 1% 以内に入るまで 4.6τ（τ = RC）、0.1% 以内なら 6.9τ かかります。1kΩ × 100nF（τ = 100µs）なら 1% 整定に 460µs で、ADC で多チャンネルを切り替えて読むときは、この時間を待たないと前の値が混ざります。

ノイズを 40dB 落とすフィルタは、信号を 100 倍遅くするのと同じです。

入出力のインピーダンスが式の前提

f_c = 1 ÷ (2πRC) は、信号源のインピーダンスがゼロで、出力に何もつながっていないときの式です。実際には、信号源の出力抵抗 R_s が R に直列に加わり、負荷の入力抵抗 R_L が C に並列に入ります。

R_s が R の 1/10 以上あると f_c が目に見えて下がります。出力抵抗 10kΩ のセンサに R = 10kΩ を付けると、実効的な R は 20kΩ で f_c は半分です。R_L が R の 10 倍程度だと、直流ゲインが 0.9 倍に落ち、f_c は上がります。目安は R_s ≦ R ÷ 10、R_L ≧ 10 × R で、収まらなければ前後にバッファを入れます。

ADC の入力に置く C は、サンプリング容量（数〜数十 pF）の 100 倍以上あれば、サンプリング時の電圧の落ち込みが 1% 以下になります。

コンデンサの自己共振で減衰は頭打ちになる

計算上は 1MHz で −56dB でも、実物の 100nF は 1MHz でコンデンサではないかもしれません。積層セラミック 1608 の 100nF は ESL 0.5nH 程度と直列共振して 20MHz 前後でインピーダンスが最小になり、それより上ではインダクタです。減衰はそこで頭打ちです。

10µF なら共振は 2MHz 程度、1nF なら 200MHz 程度で、大容量ほど高周波で効きません。低い f_c と高周波の減衰を両立したいときは、大容量と小容量を並列にします（反共振に注意）。高抵抗（100kΩ 以上）も、浮遊容量（0.1〜0.5pF）で高周波をバイパスし、100kΩ と 0.2pF なら 8MHz から上で減衰が止まります。

数十 MHz 以上のノイズには、RC より LC（フェライトビーズとコンデンサ）が向いています。

2 段にするとき

同じ R と C を 2 段重ねると、2 段目が 1 段目の負荷になり、f_c がずれて傾きも −40dB/decade に届きません。2 段目の R を 1 段目の 10 倍以上（C は 1/10）にします。1kΩ + 100nF の後に 10kΩ + 10nF、といった組み合わせです。

段間にバッファを入れれば同じ R・C を使えます。急峻な特性なら 2 次のアクティブフィルタ（サレン・キーなど）が向いています。

デジタル信号の RC：チャタリング除去

スイッチのチャタリング除去に 10kΩ + 100nF（τ = 1ms）の RC を使うのは定番ですが、信号がゆっくり立ち上がるので、入力がスレッショルド付近に長くとどまります。通常の CMOS 入力では、判定が何度も行き来したり、貫通電流が流れたりします。

なまらせた信号はシュミットトリガ入力に入れます。GPIO は多くがそうですが、データシートで確認し、無ければ 74HC14 などを間に入れます。

RC フィルタの計算機で、ノイズの周波数での減衰量を確認できます。